Может ли синус острого угла прямоугольного треугольника быть одинаковым тангенсу этого

Так как тригонометрические функции sin и tg выражаются через соотношение сторон прямоугольного треугольника, то для проведения рассуждений набросаем подходящий чертеж.

Живописуем прямоугольный треугольник

1. для чистоты расчетов живописуем прямоугольный треугольник с различными длинами катетов;
2. обозначаем вершины А, В и С (где С=90 градусов);
3. для удобства назовем стороны малыми буквами вершин, напротив которых они размещены (а и b катеты, с - гипотенуза).

http://bit.ly/2zZKGwZ
У прямоугольного треугольника всегда есть один угол, одинаковый 90 градусов, и 2 иных меньше 90 градусов. То есть, и угол В, и угол А всегда острые. Потому без разницы, относительно какого угла строить подтверждение. Будем осматривать угол А.

Найдем синус угла А

По определению синус угла обозначает отношение противолежащего углу А катета к гипотенузе. Против угла А находится катет - а, гипотенуза с, означает:
sin A = a/c

Найдем тангенс угла А

По определению, чтоб отыскать тангенс угла, необходимо противолежащий углу катет поделить на прилежащий катет. Противолежащим углу А является катет а, прилежащий катет в, означает:
tg A = a/b

Приравняем синус и тангенс угла А

Допустим, sin A = tg A, тогда обязано выполняться равенство:
а/с = а/b.

Равенство может иметь место только в том случае, если с = b. Но этого не может быть, поэтому что гипотенуза всегда больше любого катета. Это же выплывает из того, что если стороны треугольника схожи, то и углы против схожи, но в треугольнике не может быть 2 угла по 90 градусов.

Вывод: синус острого угла прямоугольного треугольника не может быть одинаковым тангенсу этого же угла.

Так как нужно проверить, может ли в прямоугольном треугольнике синус острого угла быть равен тангенсу этого угла, то можно приравнять синус к тангенсу:
sinx = tgx;
Сейчас распишем тангенс:
sinx = sinx / cosx;
sinx = 1 / cosx (так как sinx сокращается);
Как следует, выразим cosx: cosx = 1;
косинус равен 1, только для угла в 0 градусов, что невероятно;
Ответ: в прямоугольном треугольнике синус угла не может быть равен тангенсу этого угла.