Треугольники ABC и ADC размещены по одну сторону от прямой AC.

   Подтверждение.

   1.Треугольники ABC и ADC одинаковы, т.к. все стороны одинаковы:
      AB=CD, AD=CB, а AC - общая сторона (http://bit.ly/2zC4EgW).

   2. Поскольку M- середина AC, то BM и DM являются меридианами для треугольников ABC и ADC.

   3. Но у равных треугольников подходящие меридианы тоже одинаковы: BM = DM, т.е., треугольник BMD - равнобедренный, что и потребовалось доказать.

Возьмем отрезок АC принадлежащий прямой (AC). Эта ровная разделяет плоскость на две полуплоскости. Пусть точки B и D лежат в одной полуплоскости. Соединим точки В и D с точками А и C. Получится два треугольника ABC и ADC. По условию задачи:

AB = CD;

AD = CB;

Проведем далее отрезок BC, и пусть точка M является серединой отрезка АC. Нужно обосновать, что треугольник BMD является равнобедренным.

Для этого:

• докажем равенство треугольников ABC и ADC;
• покажем, что BD AC;
• установим равенство отрезков MB и MD.

Равенство треугольников ABC и ADC

Как знаменито, если стороны 1-го треугольника попарно одинаковы сторонам иного треугольника, то сами эти треугольники также равны друг другу. В нашем случае, применительно к треугольникам ABC и ADC, имеем:

AB = CD;

AD = CB;

по условию задачки и 3-я сторона АС является общей, т.е. одинаковой в обоих треугольниках. Это означает, что ABC = ADC, и вышины и медианы, проведенные из вершин B и D этих треугольников к стороне АС, также являются одинаковыми. Соответственно, точки B и D равноудалены от прямой (АС), и:

(BD) (AC);

Заметим, что четырехугольник ABDC является равнобедренной трапецией.

Характеристики треугольника BMD

Треугольник является равнобедренным, если две его стороны равны. Заметим, что в ABC отрезок BM является медианой. В треугольнике ADC отрезок DM также является медианой. Соответственно:

BM = DM;

Получаем, что в ВMD стороны BM и MD одинаковы. Как следует, ВMD равнобедренный, что и требовалось обосновать.