Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник , каждый наружный угол которого равен

  Для решения задачки о числе сторон выпуклого многоугольника, определим поначалу внутренние углы этого выпуклого многоугольника.

Определение углов выпуклого многоугольника

  Углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, интеллигентный его гранями, сходящимися в одной верхушке.
  Наружным углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный углу многоугольника при этой верхушке.
  Данный выпуклый многоугольник имеет:

• n - сторон;
• наружные углы = 1;
• внутренние углы ;

  Сумма внутреннего и внешнего углов выпуклого многоугольника одинакова: + = 180;
Тогда, внутренний угол равен:
= 180 - = 180 - 1 = 179;

Определение числа сторон выпуклого многоугольника

  Сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника Sn одинакова:
Sn = n = 179 n;
В то же время, сумма углов выпуклого n-угольника рассчитывается по формуле:
Sn = 180 (n 2);
Приравняем правые доли этих выражений, тогда:
179 n = 180 (n 2);
Решая это уравнение, получаем:
180   n - 179 n = 360;
1   n = 360;
n = 360;
Ответ: Выпуклый многоугольник имеет 360 сторон.

 

Так как каждый наружный угол выпуклого многоугольника равен 1, то каждый внутренний угол выпуклого многоугольника равен 180 - 1 = 179 (так как внутренний и наружный углы многоугольника являются смежными, а сумма смежных углов равна 180).
Сумма углов выпуклого многоугольника рассчитывается по формуле:
S = 180 * (n 2),
где n количество сторон выпуклого многоугольника.
Так как все углы выпуклого многоугольника равны по 179, то сумма всех углов будет равна 179 * n.
Таким образом:
180 * (n 2) = 179 * n;
180 * n 180 * 2 = 179 * n;
180 * n - 360 = 179 * n;
180 * n - 179 * n = 360;
1 * n = 360;
n = 360/1 (по пропорции);
n = 360.
Ответ: выпуклый многоугольник, каждый наружный угол которого равен 1, имеет 360 сторон.