13. Биссектриса внешнего угла при вершине B треугольника ABC пересекает продолжение

 Основное равенство: углы треугольника АВС (lt; А + lt; В + lt; С) = 180.

Осмотрим треугольник АВО, в котором известен lt; АОВ = 80. Запишем равенство для треугольника АВО:

lt; ВАО = lt; А / 2, так как АО биссектриса угла ВАС, который равен lt; А
lt; АВО = lt; В + (180 - lt; В) / 2 = 90 + lt; В / 2.
lt; ВОА + lt; ВАО + lt; АВО = 180, как сумма углов в треугольнике АВО.

Составим уравнение: 

lt; ВОА = 80 = 180 - (lt; ВАО + lt; АВО) ;
80 = 180 - (lt; А / 2 + 90 + lt; В / 2) = 90 - (lt; А / 2 + lt; В / 2).

Отсюда: (lt; А / 2 + lt; В / 2) = 10, (lt; А + lt; В) = 2 * 10 = 20.
Теперь найдем угол АСВ = lt; С = 180 - (lt; А + lt; В) = 180 - 20 = 160.