В равнобедренную трапецию с огромным основанием а и углом 60 градусов

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2M7MsjI).

Пусть длина основания ВС = Х см.

Из центра окружности О проведем отрезки ОН и ОА.

Отрезок ОА, по свойству трапеции, в которую вписана окружность, есть биссектриса угла А, а отрезок ОН есть радиус окружности и делит основание АД пополам. АН = ДН = а / 2.

Тогда в прямоугольном треугольнике АОН угол ОАН = 30⁰. Tg30 = ОН / АН = R / (a / 2).

R = (a / 2) * tg30 = (a / 2) * 3 / 3 = a * 3 / 6 см.

Радиус окружности, вписанной в трапецию так же равен: R = (a * X) / 2.

Тогда a * 3 / 6 = (a * X) / 2.

Возведем обе доли в квадрат.

а² * 3 / 36 = а * Х / 4.

Х = (а / 12) * 4 = а / 3.

Ответ: Наименьшее основание одинаково а / 3.