1)Высота ромба, проведенная из верхушки тупого угла, делит сторону ромба напополам.

1).

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2NCNubx).

Так как вышина СН делит сторону АД пополам, то она является и медианой треугольника АСД.

Если медиана совпадает с высотой треугольника то этот треугольник равнобедренный, АС = ДС.

Так как у ромба все стороны равны, то АД = СД, а следовательно СД = АС и треугольник АСД равносторонний.

У равностороннего треугольника все углы одинаковы 60⁰, угол АСД = СДА САД = 60⁰.

Диагонали ромба разделяют углы при верхушках пополам, тогда угол ВАД / 2 = САД.

Угол ВАД = 2 * САД = 2 * 60 = 120⁰.

У ромба обратные углы равны, тогда угол АВС = АДС = 60⁰, угол ВАД = ВСД = 120⁰.

Ответ: Углы ромба одинаковы 60⁰ и 120⁰.

2).

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2QUVOBb).

По свойству биссектрис параллелограмма, биссектрисы обратных углов параллельны либо совпадают, тогда ВЕ параллельно ДF.

Докажем, что треугольник АВЕ равен треугольнику СДF.

У треугольников АВ = СД, как противоположные стороны параллелограмма. Угол АВЕ треугольника АВЕ равен углу СДF, как половины тупых углов параллелограмма деленные биссектрисами. Угол АЕВ треугольника АВЕ равен углу СFД треугольника СДF, так вертикальные углы при скрещении диагонали АС параллельными АЕ и ДF.

Тогда треугольники АВЕ и СДF одинаковы по стороне и двум углам второму признаку равенства треугольников. Тога DЕ = ДF.

Если две стороны четырехугольника одинаковы и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм, что и требовалось обосновать.

3).

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2PVIN9g)

Опустим из вершин тупых углов трапеции вышины ВН и СК. Так как трапеция равнобедренная, то АН = ДК.

Обозначим основание ВС через Х см, тогда АВ = ВС = СД = Х см, а АД = 2 * Х см.

АН = ДК = (АД ВС) / 2 = (2 * Х Х) / 2 = Х / 2.

В прямоугольном треугольнике АВН, катет АН равен (Х / 2), а гипотенуза АВ равна Х см, означает, кате АН лежит против угла 30⁰, АВН = 30⁰. Тогда угол АВС = 30 + 90 = 120⁰. Сумма углов при боковых сторонах трапеции одинакова 180⁰, тогда угол ВАД = 160 120 = 60⁰.

Так как трапеция равнобедренная, то угол ВАД = АДС = 60⁰, угол ВСД = АВС = 120⁰.

Ответ: Углы трапеции одинаковы 60⁰ и 120⁰.