Высота правильной треугольной пирамиды одинакова h, а двугранный угол при стороне

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2QWNIXS).

Так как пирамида верная, то треугольник АВС равносторонний.

Треугольник ДОН прямоугольный и равнобедренный, так как угол ДНО = 45⁰, тогда ОН = ДО = h см.

В равностороннем треугольнике точка скрещения высот есть центр вписанной окружности. Тогда ОН = R = ВС / 2 * 3 = h.

BC = 2 * h * 3 см.

Определим площадь основания.

Sосн = ВС² * 3 / 4 = (2 * h * 3)² * 3 / 4 = h² * 3 * 3 cм².

Из прямоугольного треугольника ДОН определим длину гипотенузы ДН.

ДН² = ДО² + НО² = h2 + h² = 2 * h².

ДН = h * 2 см.

Определим площадь боковой грани пирамиды.

Sдвс = ВС * ДН / 2 = 2 * h * 3 *  h * 2 / 2 = h² * 6 cм².

Sбок = 3 * Sдвс = 3 * h² * 6 см².

Тогда Sпол = Sосн + Sбок = h² * 3 * 3 + 3 * h² * 6 = h² * 3 * 3 * (1 + 2) см².

Ответ: Полная площадь поверхности одинакова h² * 3 * 3 * (1 + 2) см².