В прямоугольной трапеции ABCD угол D=90. Точка К лежит на основании

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2FoAKzV).

Так как, по условию, АК = ДК, а ВК перпендикулярна ВС, а как следует, перпендикулярна АД, то ВК высота и медиана треугольника АВД, а треугольник АВД равнобедренный.

Тогда Sвкд = Sвка.

В прямоугольнике ДСВК ВД диагональ и разделяет прямоугольник на два равновесных треугольника Sдсв = Sдкв. Тогда Sтрапеции = Sавд + Sсвд = 3 * Sсвд.

Sсвд = 30 / 3 = 10 см², тогда Sавд = 2 * Sсвд = 2 * 10 = 20 см².

В треугольнике ВОС, СВ = ДА / 2, ОВ = ВД / 2, угол СВО = ВДА как накрест лежащие, тогда треугольники ВОС и АВС сходственны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда:

ВД / АД = ВО / ВС, а так как ВД = АВ, то АВ / АД = ВО / ВС, что и требовалось обосновать.

Ответ: Площадь треугольника АВС одинакова 20 см².