Вышины AA1 и CC1 остроугольногоВысоты AA1 и CC1 остроугольного треугольника ABC

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2OMoaPX).

1-ый метод.

Докажем, что прямоугольные треугольники АЕС1 и СЕА1 сходственны.

Углы АЕС1 и СЕА1 одинаковы как вертикальные углы при скрещении прямых АА1 и СС1, тогда треугольники сходственны по острому углу.

Тогда:

АЕ / СЕ = ЕС1 / ЕА1.

СЕ * ЕС1 = АЕ * ЕА1.

Перепишем пропорцию в виде: ЕС1 / АЕ = ЕА1 / СЕ, что подтверждает подобие треугольников А1С1Е и АСЕ, тогда угол CC1A1 и CAA1 равны. Что и требовалось обосновать.

2-ой метод.

Проведем окружность через точки А, С, С1, А1. Треугольники АА1С и СС1А прямоугольные, тогда АС поперечник окружности. Внутренние углы CC1A1 и CAA1 опираются на одну дугу СА1, как следует углы CC1A1 и CAA1 одинаковы, что и требовалось обосновать.