1)В треугольнике ABC на вышине BF отмечена точка O, такая, что

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2Nc4tNC).

Осмотрим треугольники AOF и COF. Углы F у треугольников прямые, так как OF вышина треугольника, стороны АО и ОС равны по условию, а стороны OF общие.

Тогда прямоугольные треугольники AOF и COF одинаковы по двум катетам.

Так как AF = CF, то OF вышина, медиана и биссектриса, значит и BF вышина, диагональ и биссектриса АВС.

Рассмотрим треугольники  ВОК и ВОМ, у которых углы ВКО и ВМО прямые, а означает треугольники прямоугольные. Гипотенуза ВО общая, а острые углы КВО и МВО равны, так как мы обосновали, что ВF биссектриса. Треугольники ВОК и ВОМ одинаковы по гипотенузе и острому углу, следовательно, ОМ = ОК = 4 см.

Ответ: ОМ = 4 см.