18. Обоснуйте, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы

Набросок:  https://bit.ly/2xbaLcT

Все стороны четырехугольника будут касательными к вписанной окружности. Проведем из центра окружности О перпендикуляр к каждой стороне, по которым определим точки касания.

Знаменито, что отрезки, касательные к окружности, проведенные из одной точки, одинаковы. Составим равенства для произвольного четырехугольника АВСD с вписанной окружностью:

АК = AN; KB = BL; CL = CM; MD = ND; (1)

Сумма обратных сторон АВ и DC, как сумма их отрезков:

АВ + DС =  АК + KB + DM + MC (2)

Каждый из отрезков в силу равенств (1) можем поменять на одинаковый ему:

 АВ + DС =  AN + ВL + ND + LC  = (AN + ND) + (BL + LC) = AD + BC.

Равенство сумм обратных сторон подтверждено.