В цилиндр радиус вписана правильная треугольная призма так что основание призмы

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2Godfcp).

Пусть сторона треугольника в основании призмы одинакова а см, радиус окружности в основании цилиндра R см, а вышина цилиндра h см.

Так как в основании призмы верный треугольник, то радиус описанной вокруг него окружности будет равен: R = a * 3 / 3 см, тогда а = АС = АВ = ВС = R * 3 / 3 = R * 3 см.

В прямоугольном треугольнике АСС1 определим длину катета СС1.

СС1 = h =  R * 3 / tg см.

Определим длину окружности в основании цилиндра. L = 2 * п * R.

Тогда площадь боковой поверхности цилиндра будет одинакова: Sбок = L * h = 2 * п * R * R *  3 / tg =

п * 2 * 3 * R² / tg см².

Sосн = п * R².

Sпол = Sбок + 2 * Sосн = п * 2 * 3 * R² / tg + 2 * п * R² = 2 * п * R² * (3 / tg + 1) см².

Ответ: Площадь поверхности цилиндра равна 2 * п * R² * (3 / tg + 1) см².