В прямоугольном треугольнике ABC из прямого угла B проведена вышина BD.

Для решения осмотрим набросок (http://bit.ly/2Y8Jb8A).

1-ый способ.

В прямоугольном треугольнике АВС определим его площадь 2-мя методами, через длины катетов и через основание и высоту.

Sавс = АВ * ВС / 2.

Sавс = АС * ВД / 2.

Приравняем правые доли уравнений и умножим их на 2.

2 * АВ * ВС / 2 = 2 * АС * ВД / 2.

АВ * ВС = АС * ВД.

ВД = АВ * ВС / АС.

2-ой способ.

В прямоугольных треугольниках АВС и ВСД выразим синус угла С.

SinC = AB / AC.

SinC = ВД / BC.

Тогда АВ / АС = ВД / ВС.

ВД = АВ * ВС / АС.

Что и требовалось доказать.