В треугольнике стороны a, b, c соответственно равны 5, 6, 7

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2UcElJ7).

Определим полупериметр треугольника АВС.

р = (АВ + ВС + АС) / 2 = (6 + 5 + 7) / 2 = 18 / 2 = 9 см.

По теореме Герона определим площадь треугольника АВС.

Sавс = р * (р АВ) * (р ВС) * (р АС) = 9 * (9 6) * (9 5) * (9 7) = 9 * 3 * 4 * 2 =216 = 6 * 6 см².

Тогда радиус описанной окружности будет равен: OA = R = АВ * ВС * АС / 4 * Sавс = 6 * 5 * 7 / 4 * 6 * 6 = 210 / 24 * 6 = 35 * 6 / 24 см.

Определим вышину СН через площадь треугольника.

Sabc = BA * CH / 2.

CH = 2 * Sabc / BA = 2 * 6 * 6 / 6 = 2 * 6 см.

В прямоугольном треугольнике ВСН определим катет ВН.

ВН² = ВС² СН² = 25 24 = 1.

ВН = 1 см.

Тогда CosCBH = BH / BC = 1/5.

В треугольнике ВСМ по теореме косинусов определим сторону СМ.

СМ² = СВ² + ВМ² 2 * СВ * ВМ * CosСВН = 25 + 9 2 * 5 * 3 * (1/5) = 34 6 = 2 * 7 см.

Ответ:  Вышина СН одинакова 2 * 6 см, медиана СМ равна 2 * 7 см, радиус окружности равен 35 * 6 / 24 см.