В прямоугольном треугольнике ABC катеты одинаковы AB=12 и BC=9. Найдите длину

Для решения осмотрим набросок (http://bit.ly/2LrfYnJ).

По аксиоме Пифагора определим длину гипотенузы АС.

АС² = АВ² + ВС² = 144 + 81 = 225.

АС = 15 см.

Пусть длина отрезка СМ = Х см, тогда АМ = (15 Х см).

По свойству биссектрисы угла: ВС / СМ = АВ / АМ.

9 / Х = 12 / (15 Х).

12 * Х = 135 9 * Х.

21 * Х = 135.

Х = СМ = 135 / 21 = 45 / 7.

Определим косинус угла АСВ.

CosACB = BC / AC = 9 / 12 = 3/4.

В треугольнике АВМ, по аксиоме косинусов определим длину ВМ.

ВМ² = ВС² + СМ² 2 * ВС * СМ * CosACB = 81 + (2925 / 49) 2 * 8 * (45 / 7) * (3 / 4) =

81 + 2925 / 49 486 / 7 = 2592 / 49 = 2 * 16 * 81 / 49.

ВМ = 2 * 4 * 9 / 7 = 7,27 см.

Второй метод.

Применим формулу биссектрисы прямоугольного треугольника, проведенной из прямого угла.

ВМ = 2 * (АВ * ВС / (АВ + ВС)) = 2 * (12 * 9 / 21) = 7,27 см.

Ответ: Длина биссектрисы ВМ одинакова 7,27 см.