Снутри равнобедренного треугольника ABC отмечена точка M, так что AM=BM. Обосновать,

Итак, перед нами равнобедренный треугольник, Соединим верхушку С с точкой М. Ровная СМ поделит данный треугольник на два новых треугольника.
Рассмотрим треугольники АСМ и СМВ. У их СМ - общая сторона, АМ=ВМ и угол между ними также будет одинаковым. Таким образом мы можем сделать вывод, что треугольник АСМ и треугольник СМВ одинаковы по первому признаку равенства треугольников. 
А это означает что угол АСМ равен углу ВСМ, а соответственно мы можем сделать вывод, что СМ - биссектриса, так как она разделяет угол С на два одинаковых угла.