В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса из острого угла которая разделяет противолежащий

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2G6yEUa).

Определим длину катета АВ. АВ = АМ + ВМ = 5 + 4 = 9 см.

Пусть длина катета ВС = Х см, длина гипотенузы АС = У см.

По теореме Пифагора, АС² = АВ² + ВС².

У² = 81 + Х². (1).

Так как СМ биссектриса угла, то по свойству биссектрисы:

АС / АМ = ВС / ВМ.

У / 5 = Х / 4.

4 * У = 5 * Х.

У = 5 * Х / 4.

У² = 25 * Х² / 16. (2).

Приравняем уравнения 1 и 2.

81 + Х² = 25 * Х² / 16.

25 * Х² 16 * Х² = 16 * 81.

9 * Х² = 1296.

Х² = 144.

Х = ВС = 12 см.

Тогда Sавс = АВ * ВС / 2 = 9 * 12 / 2 = 54 см².

Ответ: Площадь треугольника одинакова 54 см².