Диагонали АС и BD трапеции АВСD пересекаются в точке O. Площади

Треугольники АОD и ВОС сходственны с коэффициентом подобия 4/5. Пусть вышина трапеции одинакова 9х. Тогда высота треугольника BOC одинакова 4х, а вышина треугольника AOD одинакова 5 х.

Площадь ВОС равна 1/2*ВС*4х, откуда сторона ВС одинакова 8/х

Площадь АОD одинакова  1/2*АD*5х, откуда AD одинакова 10/х

Площадь трапеции равна (10/х+8/х)9х*2=81

Треугольники АОД и ВОС - подобны (все углы одинаковы). Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть:

к =25/16

к = 5/4

Означает АО/ОС = ОД/ОВ = 5/4                  (1)

Воспользуемся формулой для площади тр-ка через две стороны и синус угла между ними (пусть угол АОД = углу ВОС = ):

S(АОД) = (1/2)*АО*ОД*sin = 25

S(ВОС) = (1/2)*ВО*ОС*sin = 16

Сейчас из второго выразим ВО и ОС:

ВО = 32/(ОС*sin);  ОС = 32/(ВО*sin)      (2)

Эти формулы понадобятся при нахождении площадей тр-ов АОВ и СОД:

S(АОВ) = (1/2)*АО*ОВ*sin(-);   S(СОД) = (1/2)*ОД*ОС*sin(-)       (3)

Подставим (2) в (3) и учтем, что sin(-)=sin :

S(АОВ) = 16*(АО/ОС);    S(СОД) = 16*(ОД/ОВ)

С учетом (1) получим что эти треугольники равнозначащие и их площади равны:

S(АОВ) = S(СОД) = 16 *(5/4) = 20 см.

Площадь всей трапеции состоит из площадей 4-х треугольников:

S(АВСД) = 25 + 16 + 2*20 = 81 см

Ответ: 81 см.