Сформулируйте и обоснуйте аксиому о скрещении высот треугольника

Аксиома . Три высоты хоть какого треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник . Пусть прямые, содержащие вышины AP и BQ треугольника ABC пересекаются в точке O. Проведем через точку A прямую, параллельную отрезку BC, через точку B прямую, параллельную отрезку AC, а через точку C - прямую, параллельную отрезку AB. Все эти прямые попарно пересекаются. Пусть точка скрещения прямых, параллельных сторонам AC и BC - точка M, точка скрещения прямых, параллельных граням AB и BC - точка L, а прямых, параллельным AB и AC - точка K. Точки KLM не лежат на одной прямой, (по другому бы прямая ML совпадала бы с прямой MK, а означает, ровная BC была бы параллельна прямой AC, либо совпадала бы с ней, то есть точки A, B и C лежали бы на одной прямой, что противоречит определению треугольника) . Итак, точки K, L, M сочиняют треугольник. MA параллельно BC, и MB параллельно AC по построению. А значит, четырёхугольник MACB - параллелограмм. Как следует, MA = BC, MB = AC. Подобно AL = BC = MA, BK = AC = MB, KC = AB = CL. Означает, AP и BQ - серединные перпендикуляры к сторонам треугольника KLM. Они пересекаются в точке O, а означает, CO - тоже срединный перпендикуляр. CO перпендикулярно KL, KL параллельно AB, а значит CO перпендикулярно AB. Пусть R - точка пересечения AB и CQ. Тогда CR перпендикулярно AB, то есть CR - это высота треугольника ABC. Точка O принадлежит всем прямым, содержащим высоты треугольника ABC. Значит, прямые, содержащие высоты этого треугольника пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.