12) На гранях AB, BC, CD и AD ромба ABCD взяты

A)

1) Симметриями ромба являются его диагонали. Означает, PM BD , KH BD , PK AC .

Так как PM BD , KH BD , то PM KH , РK AC

Означает, четырёхугольник EPKT - параллелограмм

По свойству ромба: диагонали ромба обоюдно перпендикулярны =gt;

AC перпендикулярно BD

К тому же PM BD , KH BD

Означает, отрезки KH и PM перпендикулярны отрезку AC

PK AC, KH PM , KH и PM перпендикулярны отрезку AC

Из всего этого следует, что параллелограмм EPKT является прямоугольником

По свойству прямоугольника:

Диагонали прямоугольника одинаковы, что и требовалось обосновать

б)

Так как ромб - это симметричная фигура
следует, что относительно диагоналей AC и ВD происходит симметрия =gt;

ABC = АСD

Из первого пт было сказано, что EPKT является прямоугольником

Значит, прямоугольник EPKT симметрично накладывается на четырёхугольник METH, которые вследствие симметричности является также прямоугольником. А означает, весь четырехугольник МРKH является прямоугольником.

Для точности докажем, что точки Р и М, К и Н симметричны относительно диагонали АС

АРЕ = АЕМ - по катету и острому углу ( угол ВАС = угол САD - по свойству ромба ; АЕ - общая сторона )
Означает, РЕ = ЕМ

Подобно доказывается, что КТ = ТН . Потому точки Р и К соответственно симметричны точкам М и Н условно диагонали АС.

ОТВЕТ: прямоугольник

Ромб ABCD симметричен условно диагоналей AC, BD.

PM BD KH, PKAC

(Если точки находятся по различные стороны от диагонали, то, явно, отрезок, соединяющий точки, пересекает диагональ и не может быть ей параллелен.)

1) Диагонали ромба перпендикулярны, ACBD. Прямые, параллельные перпендикулярным, перпендикулярны*, PMAC, KHAC, PKBD. Смежные стороны EPKT лежат на перпендикулярных прямых, EPKT - прямоугольник. Диагонали прямоугольника одинаковы.

2) Стороны ромба одинаковы, диагональ разделяет ромб на равнобедренные треугольники. Ровная, параллельная диагонали, отсекает подобный равнобедренный треугольник, PB=BK, MA=AP, KC=CH. Из одинаковых длин вычитаем равные, AP=KC. Обратные углы ромба одинаковы, MA=AP=KC=CH =gt; MAP и KCH одинаковы по двум граням и углу меж ними, PM=KH. MPKH - параллелограмм (противоположные стороны одинаковы и параллельны). PMBD, PKBD =gt; PMPK. Параллелограмм с прямым углом - прямоугольник.

____________________________________________________________

* Соответственные углы при параллельных одинаковы. Если секущая пересекает одну параллельную под прямым углом, то и другую она пересекает под прямым углом.