Знаменито, что в треугольнике ABC вышины пересекаются в точке H, при этом

Если малость схитрить, то можно избрать удачный приватный случай и решить для него. Например, для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом у верхушки B. Тогда три разыскиваемые описанные окружности будут иметь поперечникы одинаковые длинам сторон этого треугольника: 7 (меньший катет) , 14 (гипотенуза) и 14*корень(3)/2 (больший катет). В сумме диаметры составят 7*(3+корень(3)), а сумма радиусов будет в два раза меньше.

Но это, окончательно, фейковое решение основанное на убежденности в том, что условие правильное и задачка совершенно точно решается.