ABCDA1B1C1D1 - верная четырёхугольная призма со стороной основания 4 и боковым

Так как призма правильная, то в основании квадрат: AB=AD.
1) Рассмотрим треугольник AA1B1:
AA1 = 3, A1B1 = 4, угол AA1B = 90
По теореме Пифагора:
AB1^2 = AA1^2 + A1B1^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
AB1 = 5.

2) Рассмотрим треугольник A1B1D1:
A1B1 = 4, A1D1 = 4, угол B1А1D1 = 90
По аксиоме Пифагора:
A1B1^2 + A1D1^2 = B1D1^2
B1D1^2 = 2A1B1^2
B1D1^2 = 2*4^2 = 2*16=32
B1D1 = 4sqrt(2)

3) Осмотрим треугольник AA1D1:
AA1 = 3, A1D1=4, угол AA1D1 = 90
По теореме Пифагора:
AD1^2 = AA1^2 + A1D1^2
AD1^2 = 3^2 + 4^2 = 25
AD1 = 5

4) S = 1/2 * B1D1 * AH
AH^2 = AB1^2 - (B1D1/2)^2 = 25 - 8 = 17 , т.к. треугольник AB1D1 вышел равнобедренным.
AH = sqrt(17)

S = 1/2 * 4sqrt(2)*sqrt(17) = 2sqrt(34)

Пусть А - начало координат .
Ось X - AB
Ось Y - AD
Ось Z - AA1

Координаты
В1(4;0;3)
D1(0;4;3)

Площадь AB1D1
S= 1/2 AB1 x AD1 = 1/2 (12^2+12^2+16^2) = 234