[СПбГУ] Сумма длин оснований трапеции одинакова 9, а д длины диагоналей

почетаемый Таргариен. Вы не могли бы впредь оформлять свои задачи по одной? За те же 30 баллов три задачи по 10 великолепно были бы решены.

1) Дана трапеция АВСД. ВС+АД = 9, АС = 5, ВД = 34.
Отыскать площадь трапеции.

Можно построить равновесный треугольник АСД1 со сторонами 5, 9 и 34 и отыскать его площадь по формуле Герона, но одна сторона выражена корнем.

Потому находим косинус угла САД1.
cos(САД1) = (25+81-34)/(2*90 = 5*9) = 72/90 = 4/5.
Синус этого угла равен (1-(16/25)) = (9/25) = 3/5.
Тогда разыскиваемая площадь одинакова:
S = (1/2)*5*9*(3/5) = 27/2 = 13,5 кв.ед.

2) Дана трапеция с основаниями ВС =10 и АД =15, и с диагоналями АС = 261 и ВД = 341.
Найти её площадь и узнать: можно ли в эту трапецию вписать окружность и описать около неё окружность?
 Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.
В четырехугольник окружность можно вписать только в том случае, если суммы его противоположных сторон одинаковы.

Построим равновесный треугольник АСД1 с боковыми сторонами как диагонали трапеции и основанием АД1 = 10 + 15 = 25.
Из точки С опустим перпендикуляр СЕ = Н (это вышина и треугольника и трапеции).
Примем АЕ = х, ЕД1 = 25 - х.
По Пифагору Н = АС - х = (СД1) - (25 - х).
Приравняем: АС - х = (СД1) - (25 - х) и подставим длины диагоналей.
244 - х = 369 -625 + 50х - х.
50х = 500.
х = 500/50 = 10.
Так как АЕ = ВС, то угол А трапеции прямой.
Сторона АВ = Н = 12.
Сторона СД = (12 + (15-10)) = (144 + 25) = 169 = 13.
Ответ: S = ((10+15)/2)*12 = 25*6 = 150 кв.ед.
По окружностям - нет и нет.

3) Из условия вытекает, что трапецию можно отрезком СЕ, параллельным АД, поделить на 2 фигуры: АДСЕ с равными гранями (это ромб с диагоналями а и в) и равнобедренный треугольник СЕВ (СЕ = ЕВ). Вышина этого треугольника из подобия треугольников одинакова половине АС, то есть одинакова а/2.
Потому площадь данной трапеции одинакова:
S = (1/2)a*b + (1/2)*(a/2)*b = (ab/2) + (ab/4) = 3ab/4.