Пусть r - радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, а[tex]r_1, r_2,

Это чисто счетная задача. Ну хорошо, пишу ответ, для чего Для вас это надо, не знаю.

Занимательнее предложить доказать аксиому Фейербаха (вроде так называется) - что окружность 9 точек дотрагивается всех этих окружностей.

Я собирался предложить это позже))

Кстати, превосходнее поделить аксиому Фейербаха на две либо не делить? (про касание с вписанной и касание с вневписанной)

Полупериметр p = (a + b + c)/2;
p = (p - a) + (p - b) + (p - c);
потому
S/r = S/r1 + S/r2 + S/r3; фактически всё.

Конечно, надобно знать, что S = (p - a)*r1; доказывается это точно также, как с вписанной окружностью - соединяются верхушки с центром вневписанной окружности, и числятся площади получившихся треугольников с высотами r1. Сторона a - как раз та, которой дотрагивается вневписаная окружность меж верхушками, а не на продолжении.