1)На стороне равностороннего треугольника,как на диаметре,построена полуокружность.

1)Думаю, речь всё же идет о равностороннем треугольнике, а не о ординарном равнобедренном. 

Если треугольник равносторонний. то два вписанных угла опираются на дуги, одинаковые 120  градусов ( каждый), так ка сами углы равны 60 градусов. 

Потому дуги, ограниченные концами диаметра и точками скрещения окружности с 2-мя иными гранями треугольника одинаковы 60 градусов. 
Вся же полуокружность содержит 180 градусов. 
Дуга меж гранями треугольника одинакова

180-2*60=60. Что и требовалось обосновать.
2)АС/АВ = 2, поэтому АК/АВ = 1, и треугольник ВАК - равнобедренный, то есть треугольники АЕК и АЕВ равны. 

в том числе - и по площади:))).

Площадь Sbak = (1/2)*S (S = 60, площадь АВС); Saek = (1/4)*S,

а Sadc = (2/3)*S; (понятно, почему? - я увидел, что это вызывает трудности, желая абсолютно явно DC = BC*2/3 =gt; DC*h/2 = (2/3)*BC*h/2, где h - расстояние от А до ВС);

Sedck = (2/3)*S - (1/4)*S = 25.