в трапецию вписана окружность радиуса 6. точка касания делит одно из

Соединим центр окружности с верхушками трапеции и с точками касания.
Имеем подобные треугольники AOE и ОКВ, а также ДОЕ и ОСР (их стороны обоюдно перпендикулярны).
Обретаем отрезки сторон у вершин до точки касания: х = ВК, у = СР.
6/12 = х/6,  х = 6*6/12 = 3.
6/9 = у/6,    у = 6*6/9 = 4.
Отсюда получаем длины сторон:
АВ = 9+4 = 13,
ВС 0 4+3 = 7,
СД = 12+3 = 15.

Вышина Н трапеции одинакова:
Н = (АВ - (9-4)) = 169 - 25) = 144 = 12.

Площадь S трапеции одинакова:
S = 12*((7+21)/2) = 12*14 = 168 кв.ед.

Вариант решения. 

Обозначим трапецию АВСД, ВС и АД - основания.

 Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, одинаковы.

АМ=АН=9, КД=ДН=12,  ВМ=ВТ=х, СТ=СК=у

Соединим верхушки трапеции с центром окружности. 

Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе. Центр вписанной в трапеции окружности лежит в точке пересечения биссектрис её углов. 

Сумма углов при боковой стороне  трапеции равна 180, сумма их половин одинакова 90,   АОВ и СОВ прямоугольные, радиусы ОМ и ОК их высоты. 

Вышина прямоугольного треугольника - среднее пропорциональное меж проекциями его катетов на гипотенузу. 

ОМ=АМВМ

36=9х

х=36:9=4

Аналогично ОК=ДКСК

36=12у

у=36:12=3

АВ=9+4=13

ВС=3+4=7

CD=12+3=15

АД=9+12=21

Площадь трапеции одинакова творенью вышины на полусумму оснований. 

Вышина описанной трапеции одинакова поперечнику вписанной окружности 

h=2r=12

S=(7+21)12:2=168 ед. площади.