Снутри треугольника ABC выбрана точка М. Как выстроить отрезок с концами

Немножко иная задачка :). Снутри УГЛА c верхушкой в точке A выбрана точка M, надо построить отрезок с концами на гранях УГЛА, так, чтобы точка M была бы его серединой.
Отличие этой задачки в том, что 1) концы отрезка могут быть на ПРОДОЛЖЕНИИ сторон 2) у треугольника ТРИ угла.
Я отвечаю на поставленный вопрос. То есть обрисовываю процесс построения. Все деяния просто осуществляются с помощью циркуля и линейки.
1) проводится биссектриса угла.
2) из точки M проводится перпендикуляр к биссектрисе. Он пересекает стороны угла в точках K и N.
3) из точек K и N проводятся перпендикуляры к граням угла, которые пересекаются НА БИССЕКТРИСЕ угла в точке O (это центр окружности, которая касается сторон угла в точках K и N) 
4) соединяются точки O и M.
5) через точку M проводится ровная, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ отрезку OM, пересекающая стороны угла в точках P и Q.
PQ и есть нужный отрезок, точка M является его серединой.

Доказывается это так.