В шар радиусом корень из 11 вписана правильная треугольная призма abca1b1c1.

Верная призма это ровная призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы одинаковые прямоугольники.
Плоскость acc1 - это плоскость грани aa1c1c. Чтоб найти угол между прямой ab1 и плоскостью aa1c1c, надобно из точки b1 опустить перпендикуляр b1h1 на эту плоскость (заметим, что этот перпендикуляр - вышина равностороннего треугольника -  основания призмы). Угол b1ah1 и будет разыскиваемым углом, который равен 45 градусам (дано).
Тогда в прямоугольном треугольнике ah1b1 катеты равны (lt;b1ah1=45),то есть ah1=h1b1. Но h1b1 - вышина равностороннего треугольника (основания призмы) со стороной а. По формуле эта вышина равна (3/2)*а. Тогда из прямоугольного треугольника аh1h по Пифагору найдем hh1 (заметим, что это вышина призмы): hh1=(ah1-ah) = (3a/4-a/4) = a*2/2 ( ah=0,5ac - половине стороны основания). осмотрим прямоугольный треугольник ob1b2. ob1 - радиус шара, оb2 = (2/3)*h1b1 (так как вышина в равностороннем треугольнике делится центром описанной окружности в отношении 2:1, считая от верхушки), а b1b2 - половина вышины призмы. Подставим имеющиеся значения в формулу Пифагора: ob1=ob2+b1b2 и получим: 11= [(2/3)*(3/2)*а] + (a*2/4) либо 11=(11/24)*а, откуда а=2*6.
Объем призмы равен творенью площади основания на высоту призмы. Площадь основания (равностороннего треугольника) одинакова а 3/4, вышина равна a*2/2. Итак, V = (а 3/4)*(a*2/2) = a6/8. Подставляем значение а=26 и получаем: V=[(26)*(26)*(26)]*(6/8) = 36.
Ответ: Объем призмы равен 36.