в треугольнике АВС проведены биссектриса AD и медиана BK. Из точек

Такое слегка туповатое решение, мне оно не очень нравится с эстетической точки зрения.
O - точка скрещения AD и BK, CH - вышина к AB. 
Ясно, что MD II CH II KN;
Потому AN/NH = AK/KC = 1; AN = NH = AB*2/5; 
Вышло AH = AB*4/5; следовательно BH = AB/5;
Из условия следует, что BM = AB/10; то есть BM/BH = 1/2; BM = MH;
но BM/MH = BD/CD; то есть BD = CD;
Это значит (не больше, не меньше), что треугольник ABC - равнобедренный, AB = BC; и AD - не только биссектриса, но и медиана, и вышина.
Это не все чудеса этой задачки. Дальше.
DM - вышина к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ABD.
При этом BM = AB/10; AM= AB*9/10; откуда DM^2 = BM*AM = (AB^2)*9/100;
DM = AB*3/10 = 3*BM;
Прямоугольные треугольники BMD и ABD сходственны.
Потому AD = 3*BD; 
Так как O - точка скрещения медиан, то DO = AD/3 = BD;
это 2-ое, и заключительное чудо - прямоугольный треугольник OBD равнобедренный. 
Это означает, что OD/OB = 1/2; c учетом того, что OD = AD/3; BO = BK*2/3;
получается AD/BK = 2;