Саша разрезал головку сыра весом 360 гр на 10 кусочков, посреди

Ответ: 359.

Решение. 
Начнём с обычного наблюдения.

Лемма. Если на каком-то шаге все куски одинаковой массы m, то можно маршрутом указанных операций сделать так, чтоб все кусочки стали массой m/2.
Доказательство. На первом шаге съедаем кусочек массы m и разрезаем другой кусочек массы m. Получится 8 кусочков массы m и 2 кусочка массы m/2. Сейчас 8 раз съедаем кусочки m/2 и распиливаем кусочки массы m.

Перейдём к собственно решению. Понятно, что Саша не мог съесть весь сыр. Поэтому, поскольку он съел целое число граммов сыра, он мог съесть не более, чем 360 - 1 = 359 граммов. Покажем, как он это мог сделать.

Пусть изначально головка сыра была разрезана так: 5 кусочков по 512/9 г, 2 кусочка по 256/9 г, 1 кусочек 128/9 г, 1 кусочек 32/9 г, 1 кусок 8/9 г (легко проверить, что сумма всех масс одинакова 360).

Поначалу съедим кусочки массой 8/9, 32/9, 128/9 и распилим три кусочка по 512/9 г. Остается 2 кусочка по 512/9 и 8 кусочков по 256/9. Потом два раза съедим кусочки по 256/9 и разрежем оставшиеся куски по 512/9. После этого будет 10 кусочков по 256/9.

Уменьшим размер каждого куска в 256 раз (воспользуемся 8 раз процессом, описанным в лемме). Тогда останутся 10 кусочков массой 1/9 г. Съедаем один кусок и распиливаем хоть какой оставшийся кусок. Несъеденная масса 9 * 1/9 = 1 г, означал, съел Саша 360 - 1 = 359 г сыра.