В чём состояли служебные повинности консулов? Чем они занимались? 

Кто такой консул?

По сущности, это король либо правитель так было до республиканского периода и было после него, но пока Рим был республикой высшая выборная магистратура (она же должность) была консул.  

Консул переводится по-различному:

Тот, кто беспокоится о родине

Вкупе идущие

Товарищи

И так дальше.

Заключительным консулом был Тиверий 3, а первыми, соответственно, были Луций Юний Брут и Луцию Тарквиний Коллатин. Так, 1-ые консулы появились в 509 году, а заключительный в 705 году до нашей эпохи.  

Консулы выбирались на должность из числа патрициев, а с 367 года и из числа плебеев тоже!

Но! Консул не занимал должность один консулов было несколько (как верховодило, 2).

Консулы могли делать последующее:

Владели высшей штатской и военной властью

Они набирали легионы

Возглавляли легионы

Созывали сента и комиции

Были председателями сената и комиций

Назначали диктаторов

Производили ауспиции (гадание по поведению птиц)

До 367 года могли вести судебные процессы (в главном, уголовные)

Исполняли представительную функцию (представляли мир в международном сообществе

Могли стать губернаторами провинций

+ если положение чрезвычайное, то сенат наделял консулов безграничной пластью

То есть, фактически консулы занимались управлением, главой исправной власти, но их власть была ограничена сенатом.