Какая из династий правивших во времена донского потом породнилась с рюриковичами

Речь идет о периоде жизни и правления Дмитрия Донского. Это с 1350 по 1389 год либо с 1359 по 1389, если даты правления считать. В Византии (Восточная Римская империя) тогда верховодила династия Палеологов. После захвата турками Константинополя в мае 1453 года ее представители переехали на местность современной Италии и племянница последнего правителя Византии Константина XI вышла замуж за Ивана III, который был правнуком Дмитрия Донского. 

Еще один подходящий вариант - Гедиминовичи, супругой Василия II в XV веке была Софья Витовтовна.