почему Печорин начинает ухаживать за мери?

Во-первых, из-за спора с Грушницким.
Во-вторых, из-за скукотищи.
В-третьих, он сам растолковал в своем дневнике, почему он добивается любви Мери:

"... это следствие того скверного, но непреодолимого чувства,
которое принуждает нас уничтожать сладостные заблуждения ближнего, чтоб иметь
мелкое удовольствие сказать ему, когда он в унынии будет спрашивать, чему
он обязан веровать: "Мой друг, со мною было то же самое, и ты видишь, но,
я обедаю, ужинаю и дремлю преспокойно и, полагаюсь, сумею умереть без крика и
слез! "