В футбольном турнире, проходящем в один круг (любая команда обязана сыграть

Число игр, в которых участвовала команда, в хоть какой момент находится в границах от 0 до N-1. При этом не может так оказаться, что одна команда сыграла 0 матчей, а какая-то сыграла все N-1. Означает, всегда есть повторения, что является сюжетом знаменитой задачки.

Осмотрим N-1 команду не считая A. Число игр меняется в тех же границах, и значения 0 и N-1 по-минувшему несовместимы. Если все значения различные, то это либо от 0 до N-2 включительно, или от 1 до N-1.

В первом случае есть команда, которая ни с кем не игралась. Если её исключить из рассмотрения, то кроме A остается N-2 команды со значениями от 1 до N-2. Тогда заключительная из них играла со всеми, включая A. Если и эту команду исключить из рассмотрения, то кроме A останется N-3 команды со значениями от 0 до N-4, и с ними A игралась 12 раз. Дальше через два шага мы получим N-5 команд со значениями от 0 до N-6, с которыми A играла 11 раз, и так дальше.

Получается, что при значениях игр команд от 0 до N-2k, команда A с ними провела 14-k встреч. Так мы дойдём до k=13, и окажется, что A игралась одну встречу с N-25 командами, у которых значения лежат в границах от 0 до N-26 включительно. Отсюда следует, что N=27 или N=28. Сами эти значения подходят, так как данная процедура может быть проделана в оборотном порядке с получением расписания. При Ngt;28 последующий шаг даёт противоречие: если команда A не игралась ни с кем из оставшихся, то там не могло получиться попарно разных значений, если остались по последней мере двое.

Во втором случае, при значениях от 1 до N-1, есть команда, игравшая со всеми. Тогда её, как и выше, исключаем. Выходит, что A провела 12 встреч с командами, у которых количество игр принимает значения от 0 до N-3 (значение N-1 пропало, а другие уменьшились на 1). Видно, что при уменьшении на единицу числа игр A, правая граница значений для других команд убавляется на 2. Означает, при убавленьи числа игр A ещё на 11 (оно станет равным 1), получатся границы от 0 до N-25, откуда следует, что N=26 либо N=27, причём эти значения подходят.

Таким образом, в турнире могло участвовать 26, 27 либо 28 команд; сумма этих значений равна 81