Решите пожалуйста а)z=(xy)tg 1/y

2. а) u=ln sin(x2y+z/4); M0(1;)
u/x = 1/sin(x2y+z/4)*cos(x2y+z/4)*1 = ctg(x2y+z/4)
u/y = 1/sin(x2y+z/4)*cos(x2y+z/4)*(2) = 2ctg(x2y+z/4)
u/z = 1/sin(x2y+z/4)*cos(x2y+z/4)*() = ctg(x2y+z/4)
в т. M0 ctg(x2y+z/4)=ctg(12*+/4)=ctg(4)=1
u/x = 1; u/y = 2; u/z = .
---------------------------------------------------------------

3. S: F(x,y,z)x+yz+xz+4y=4; M0(1;1;2)
а) уравнение касательной:
(xx0)F/x + (yy0)F/y + (zz0)F/z = 0
(все приватные производные берутся в т. M0)
F/x = 2x = 2*1 =2;
F/y = 2y+4 = 2*1+4 = 6;
F/z = 2z+x = 2*2+1 = 3.
Искомое уравнение касательной: 2(x1)+6(y1)3(z4)=0, или
2x+6y3z+4=0
б) Обычная прямая:
(xx0)/(F/x) = (yy0)/(F/x) = (xz0)/(F/z),
где все приватные производные берутся в т. M0
Подставляем наши значения и получаем уравнение нормальной прямой:
(x1)/2 = (y1)/6 = (z2)/(3)
------------------------------------------------------------------------------

4. z=cos(3xy)
z/x = sin(3xy)*6x = 6x sin(3xy)
z/y = sin(3xy)*(3y) =3ysin(3xy)
z''xx = /x(z/x) = /x(6x sin(3xy)) = 6sin(3xy) 6x*cos(3xy)*6x;
z''xx = 36xcos(3xy)6sin(3xy)
z''xy = y(z/x) = y(6x sin(3xy)) = 6x*cos(3xy)*(3y);
z''xy=18xycos(3xy)
z''yx = /x(z/y) = /x(3ysin(3xy)) = 3ycos(3xy)*6x;
z''yx = 18xycos(3xy)
(как лицезреем, z''xy = z''yx)
z''yy = /y(z/y) = /y(3ysin(3xy)) = 6ysin(3xy) + 3ycos(3xy)*(3y);
z''yy = 6ysin(3xy) 9y^4cos(3xy)
---------------------------------------------------------------

5. z=x+3(y+2)
1 способ (традиционный)
Так как z представляет из себя сумму квадратов, то минимум z достигается, когда x=y+2=0, т. е. в точке (0;2); значение z одинаково 0
Так как x и (y+2) не ограничены сверху, то максимума функция не имеет.
2 метод (с использованием частных производных)
а) разыскиваем стационарные точки (в которых частные производные z по x и y равны 0)
z/x = 2x; z/y = 6(y+2)
2x=0;
6(y+2)=0
Единственная стационарная точка (0;2).
б) Исследуем её нрав. Найдём вторые производные в этой точке:
z''xx = 2; 2z''xy=2z''yx=0; z''yy = 6
Так как z''xx*z''yy(z''xy/2)=12gt;0, то имеем точку локального (и глобального тоже, поскольку иных экстремумов у функции нет) минимума.
ОТВЕТ: (0;2) точка локального и глобального минимума (z=0); иных экстремумов нет.