Отыскать общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее исходным

Question

Отыскать общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее исходным

Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям у=у при х=х
а) $y' = -\fracy2x$ , y(1) = 2
б) y''-4y'+5y = 10x+2 y'(0)=6, y(0)=10

Задать свой вопрос

Соснихина Марина
Математика
2019-09-06 07:50:28
0
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

Помогите составить синквейн quot;деньги039; пожалуйста ?

2.Найдите массу металлической плиты размером 1 х 0,5 х 0,4 м3а)14000

Равнобочная трапеция с основаниями 15 см и 25 см с вышиной

От пристани А к пристани В отправился с неизменной скоростью 1-ый

Реши образцы. Запиши слово,которое получилосьОтгадай кроссворд)В ответ запиши слово которое

log 2 (x-2) amp;gt; 1 буду признательна

Какой пункт из перечисленных является графиком

у мирбека было 10 руб. он покупал Х карандашей по 0.6

сколько будет 9.81 минус 1 степень

Задачка за физику 8 класс:Оценим, на какой этаж мог бы подняться

Vika · Answer 1 · 2019-09-06 07:58:18+3:00

a) это дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенной условной производной. Также это уравнение с разделяющимися переменными.
Переходя к определению дифференциала
$\fracdydx =- \fracy2x$

$\frac2dyy =- \frac1x$ - уравнение с разделёнными переменными

Интегрируя обе части уравнения, получаем

$\int \frac2dyy dx=-\int \frac1xdx\\ \\ \ln y^2=\ln C-\lnx\\ \\ y^2= \fracCx$

Получили общий интеграл.

Найдем решение задачи Коши
$2^2= \fracC1 \\C=4$

$\boxedy^2= \frac4x$ - приватный интеграл.

б) $y''-4y'+5y=10x+2$
Систематизация: Дифференциальное уравнение второго порядка с неизменными коэффициентами, относится к первому виду со специальной правой доли.

Необходимо отыскать: уо.н. = уо.о. + уч.н., где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - частное решением неоднородного уравнения.

1) Найдем общее решение подходящего однородного уравнения
$y''-4y'+5y=0$
Перейдем к характеристическому уравнению, пользуясь методом Эйлера.
Пусть $y=e^kx$ , тогда получаем
$k^2-4k+5=0\\ D=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot1\cdot 5=16-20=-4\\ \sqrtD =2i\\ k_1,2=2\pm i$

Тогда общее решением однородного уравнения воспримет вид:
$y_o.o.=e^2x(C_1\cos x+C_2\sin x)$

2) Нахождение приватного решения.
Рассмотрим функцию $f(x)=10x+2=e^0x(10x+2)$
$\alpha=0;\,\, P_n(x)=10x+2\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, n=1$

Сопоставляя $\alpha$ с корнями характеристического уравнения и принимаем во внимания что n=1, то частное решением будем разыскивать в виде:

yч.н. = $Ax+B$

Предварительно вычислим 1 и 2 производные функции
$y'=A\\ y''=0$

Подставим в исходное уравнение

$0-4\cdot A+5\cdot (Ax+B)=10x+2\\ -4A+5Ax+5B=10x+2\\ 5Ax+5B-4A=10x+2$

Приравниваем коэффициенты при ступени х

$\displaystyle \left \ 5A=10 \atop 5B-4A=2 \right. \Rightarrow \left \ A=2 \atop B=2 \right.$

Частное решение будет иметь вид: уч.н. = 2х + 2

Тогда общее решение неоднородного уравнения:

уо.н. = $e^2x(C_1\cos x+C_2\sin x)+2x+2$

Найдем решение задачки Коши

$y'=2e^2x(C_1\cos x+C_2\sin x)+e^2x(-C_1\sin x+C_2\cos x)+2=\\ \\ =e^2x(\cos x(2C_1+C_2)+\sin x(2C_2-C_1))+2$

$\displaystyle \left \ 2C_1+C_2+2=6 \atop C_1+2=10 \right. \Rightarrow \left \ C_2=-12 \atop C_1=8 \right.$

Приватное решение: уo.н. = $e^2x(8\cos x-12\sin x)+2x+2$

О проекте

Отыскать общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее исходным

Добро пожаловать!