Дво школярв почергово пишуть цифри 2k-значного числа, використовуючи тльки цифри 1,

Для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно чтоб сумма всех его цифр при делении на 9 давала в остатке 0. Соответственно 2-ой игрок (всегда делающий заключительный ход) будет устремляться достигнуть нуля в остатке.
Осмотрим варианты забавы второго игрока и позиции, которые он может гарантировано занять за определённое число ходов.
Можно увидеть, что своим первым ходом (т.е после того как напишет 2-ую цифру числа), второй игрок может гарантировано достигнуть остатка 6 (при делении на 9). (Т.к. если первый игрок напишет цифру 1, второй напишет 5, если 1-ый напишет 2, то 2-ой - 4, ..., если 1-ый игрок напишет цифру 5, то второй - 1). Если своим первым ходом 2-ой игрок сможет получить в остатке 6, то своим вторым ходом сумеет гарантировано получить в остатке 3, по тому же принципу. И в конце концов своим третьим ходом (написав 6-ую цифру числа), второй игрок гарантировано получит в остатке 0. Далее - после собственного четвёртого хода, 2-ой игрок вновь сможет получить в остатке 6, позже опять 3, позже 0 и т.д.
Как следует 2-ой игрок может получить в остатке 0 не только на своём 3-ем ходе (написав 6-ую цифру числа), но и на шестом, на девятом, на двенадцатом, ..., на 3n-ом ходе (написав соответственно 12-ую, 18-ую, 24-ую, ..., 6n-ую цифру числа). n  N.
Из этого можно сделать вывод, что 2-ой игрок сумеет гарантировано достичь того, чтоб полученное число делилось на 9 тогда и только тогда, когда в этом числе будет 6n цифр. Это означает, что если школьники пишут числа 2k-значного числа, 2-ой школьник выиграет, только в том случае когда k будет делиться на 3. (тогда 2k будет делиться на 6) (при правильной забаве).
Непосредственно когда k = 10, второму школьнику не получится выиграть, т.к. 10 не делится на 3. В том случае когда k = 15, одолеет 2-ой школьник.
Ответ: 2-ой школьник одержит победу если k кратно 3. При k = 10 победит первый школьник (игрок), при k = 15 - 2-ой.