Помогите пожалуйста!!!!!Даны координаты вершин пирамиды: А=(2 3 2)В=( 3 0 2)С=(-2

Даны координаты вершин пирамиды:  

А(2; 3; 2), В( 3; 0: 2), С(-2; 2; , D(1; 1; -2).

а) Угол меж ребром АD и гранью АВС.

Вектор  АD(-1; -2; -4).

Обретаем уравнение плоскости грани АВС по координатам вершин.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

х - 2         y - 3         z - 2

3 - 2 0 - 3 2 - 2

(-2) - 2 2 - 3 3 - 2

 = 0

x - 2      y - 3       z - 2

1         -3          0

-4             -1      1

 = 0

(x - 2)  -31-0(-1)  -  (y - 3)  11-0(-4)  +  (z - 2)  1(-1)-(-3)(-4)  = 0

(-3) x - 2  + (-1) y - 3  + (-13) z - 2  = 0

 - 3x - y - 13z + 35 = 0.

Угол между прямой   (x - 2)/(-1)  =   (y - 3)/(-2)  = (z - 2)/(-4)  и плоскостью

- 3x - y - 13z + 35 = 0

Устремляющий вектор прямой имеет вид: s =  (-1; -2; -4).  

Вектор нормали плоскости имеет вид: q =  (-3; -1; -13).

Вычислив угол меж векторами, найдем угол меж прямой и плоскостью:

sin = cos =   s q s q  =

=   sx qx + sy qy + sz qz (sx + sy + sz) (qx + qy + qz)  =

=   (-3) (-1) + (-1) (-2) + (-13) (-4) ((-3) + (-1) + (-13)) ((-1) + (-2) + (-4)) =   3 + 2 + 52 /((9 + 1 + 169) (1 + 4 + 16))  =    57/(179 2)  =

=   57 /3759  =   193759 1253   0.929691.

= 68.38672.

б) Расстояние от верхушки А до прямой ВС.

s =  -5; 2; 1    - направляющий вектор прямой ВС;

А =  3; 0; 2    - точка лежащая на прямой.

Уравнение ВС: (x - 3)/(-5) = (y - 0)/2 = (z - 2)/1

АB = Ax - Bx; Ay - By; Az - Bz =  (3 - 2; 0 - 3; 2 - 2)  = (1; -3; 0),  

Площадь параллелограмма лежащего на двух векторах AB и s:

S = AB s

AB s =  

i j k

1 -3 0

-5 2 1

 =

= i  -31 - 02  - j  11 - 0(-5)  + k  12 - (-3)(-5)  =

= i  -3 - 0  - j  1 - 0  + k  2 - 15  =

=  -3; -1; -13.

Зная площадь параллелограмма и длину стороны найдем вышину (расстояние от точки до прямой):

d =   ABs/ s  =   ((-3) + (-1) + (-13))/((-5) + 2 + 1)  =   179 /30  =     =   5370/30   2.44267.

в) Уравнение вышины пирамиды,опущенной из вершины D.

Общее уравнение прямой :

(x - xo)/m = (y - yo)/n = (z - zo)/l

xo, yo, zo - координаты какой-либо точки перпендикуляра, к примеру D(1; 0; -2)

m, n, l - координаты устремляющей разыскиваемой прямой (в данном случае координаты нашей нормали): q =  (-3; -1; -13).

Получаем (x -1)/(-3) = (y -0)/(-1) = (z + 2)/(-13).

г) Длина вышины пирамиды DH.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0

используем формулу:d =   AMx + BMy + CMz + D /(A + B + C).  

Подставим в формулу данные:

d =   -31 + (-1)1 + (-13)(-2) + 35/((-3) + (-1) + (-13))  =   -3 - 1 + 26 + 35/ (9 + 1 + 169)  =    57 /179  =   57179/ 179   4.26038.