Денис Евгеньевич планирует отпуск с 1 по 28 августа. Он желает

Чтобы успеть сделать ремонт в квартире, Денису Евгеньевичу нужно начать ремонт не позже

28-6+1=23 августа

А означает на море он должен поехать не позднее:

23-10=13 августа он должен быть теснее на море, а значит на даче он может быть до 12 августа.

Ответ на даче Денис Евгеньевич был до 12 августа, а ремонт начал 23 августа. 

1) Если Денис Евгеньевич был на море 17 августа, то самый поздний день (число) его присутствия на даче может быть только 16 августа.
2) Так как в условии задачки не говорится о том, в какие конкретно деньки отпуска Денис Евгеньевич обязан делать ремонт квартиры, то отважно предполагаем, что он планировал провести ремонт в два шага. Иначе не уложиться.
Так как, по условию задачи, Денис Евгеньевич должен ехать на море после завершения работ на даче, то 1-ый шаг ремонта квартиры может происходить только до начала работ на дачном участке. 2-ой же шаг ремонтных работ ему придется вести теснее после отдыха на море.
Из каких же вариантов Денису Евгеньевичу пришлось избирать:
1 денек до дачи - 5 дней после моря
2 денька до дачи - 4 денька после моря
3 денька до дачи - 3 дня после моря
4 дня до дачи - 2 денька после моря.
Вариант (5 - 1) теснее не подходит, т.к. Денис Евгеньевич 17 августа должен быть на море, а у него при таком раскладе остается всего только 11 дней на дачу.
Но в любом случае Денис Евгеньевич обязан был начать ремонт квартиры первого августа.
Если остановиться на варианте, когда Денис Евгеньевич окончил дачные работы 16 августа, а 17 числа теснее был на море, то расписание его отпуска было таким:
1-4 августа - 4 денька ремонт квартиры;
5-16 августа - 12 дней на даче;
17-26 августа - 10 дней на море;
27-28 августа - 2 денька окончание ремонта квартиры.
Ответ:
1) Самое позже число, когда Денис Евгеньевич может быть на даче - 16 августа .
2) Ремонт квартиры Денис Евгеньевич начал 1 августа.