Даю 98 баллов решить систему:cosx+cosy=1sinxsiny=3/4

Question

Вопросы-ответы » Математика

Даю 98 баллов решить систему:cosx+cosy=1sinxsiny=3/4

Даю 98 баллов
решить систему:
cosx+cosy=1
sinxsiny=3/4

Задать свой вопрос

Нелли Бохсан
Математика
2019-09-30 00:00:00
1
1

1 ответ

, оставишь ответ?

Имя:*

E-Mail:

Похожие вопросы

помогите, пожалуйста :33

при каком значении а система уравнений 4 x - ay =

Помогиите прошу заблаговременно спасибоооо

1) Уже было начало июня, когда, ворачиваясь домой, мы въехали в

Начертите 3 вида пожалуйсто!!!

Ответьте пожалуйста на эти вопросы!!! Безотлагательно НАДО

ПРОШУ ПОМОГИТЕ дают 20 баллоооввв

Помогите пожалуйста

ПОМОГИТЕ Безотлагательно СДЕЛАТЬ ЗАДАНИЕ!!!!!!! Приведите образцы глобальных изобретений и открытий (2

Какие украинские земли входили в состав венгри молдовии московского уарвства крымского

Алиса Лузган · Answer 1 · 2019-09-30 00:09:04+3:00

Решение 1

Преобразуем сумму в произведение по формуле

$\cos x+\cos y=2\cos\dfracx-y2\cos\dfracx+y2$

Попробуем получить что-нибудь схожее в правой доли первого уравнения. Пригодятся формулы преображенья суммы косинусов в произведение и формула для косинуса двойного угла:

$\sin x\sin y=\dfrac12\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)=\dfrac12\left(\left(2\cos^2\dfracx-y2-1\right)-\right.\\\left.-\left(2\cos^2\dfracx+y2-1\right)\right)=\cos^2\dfracx-y2-\cos^2\dfracx+y2$

Таким образом, если обозначить косинус полусуммы за s, а косинус полуразности за a, получится система

$\begincases2as=1\\a^2-s^2=\dfrac34\endcases$

Из первого уравнения системы a = 1/(2s), подставляем во 2-ое уравнение и после преобразований получаем биквадратное уравнение:

$1-4s^4=3s^2\\4(s^2)^2+3s^2-1=0$

По теореме Виета угадываем, что $s^2=-1$ или $s^2=1/4$ ; 1-ый вариант не даёт вещественных решений, из второго следует $s=\pm1/2$ , тогда $a=\pm1$ . Возвращаемся назад к x и y:

1) s = 1/2, a = 1:

$\begincases\cos\dfracx+y2=\dfrac 12\\\cos\dfracx-y2=1\endcases\Leftrightarrow\begincasesx+y=\pm\dfrac2\pi3+4\pi n', n'\in\mathbb Z\\x-y=4\pi n'', n''\in\mathbb Z\endcases\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\begincasesx=\pm\dfrac\pi3+2\pi (n'+n'')\\y=\pm\dfrac\pi3+2\pi (n'-n'')\endcases, n', n''\in\mathbb Z$

2) s = -1/2, a = -1:

$\begincases\cos\dfracx+y2=-\dfrac 12\\\cos\dfracx-y2=-1\endcases\Leftrightarrow\begincasesx+y=2\pi\pm\dfrac2\pi3+4\pi m', m'\in\mathbb Z\\x-y=2\pi+4\pi m'', m''\in\mathbb Z\endcases\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\begincasesx=2\pi\pm\dfrac\pi3+2\pi (m'+m'')\\y=\pm\dfrac\pi3+2\pi (m'-m'')\endcases, m', m''\in\mathbb Z$

Можно переписать все приобретенные решения в виде

$\left(\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\pm\dfrac\pi3+2\pi m\right)$ , где $n,m\in\mathbb Z$ .

Решение 2

Возведём 2-ое уравнение в квадрат, применим главное тригонометрическое тождество:

$(1-\cos^2x)(1-\cos^2y)=\dfrac916\\(1-\cos x)(1+\cos x)(1-\cos y)(1+\cos y)=\dfrac916$

Из первого уравнения сумма косинусов 1, так что 1 - один косинус = иной косинус.

$\cos x\cos y (1+\cos x)(1+\cos y)=\dfrac916\\\cos x\cos y(1+\cos x+\cos y+\cos x\cos y)=\dfrac916\\\cos x\cos y(2+\cos x\cos y)=\dfrac916$

Вышло квадратное уравнение на cos x cos y, его корешки -9/4 и 1/4. Творенье косинусов по модулю не больше 1, так что единственный вариант cos x cos y = 1/4. Совместно с cos x + cos y = 1 получаем, что соs x = cos y = 1/2, откуда $x=\pm\pi/3+2\pi n$ , $y=\pm \pi/3+2\pi m$ , $n,m\in \mathbb Z$ , знаки + и - выбираются самостоятельно.

В этом решении был неравносильный переход при возведении в квадрат, могли показаться посторонние решения. Подставляя в исходную систему, получаем, что $\sin x\sin y=3/4$ , только если в обоих значениях избрать схожие знаки.

Ответ

$\left(\pm\dfrac\pi3+2\pi n,\pm\dfrac\pi3+2\pi m\right)$ , где $n,m\in\mathbb Z$

О проекте

Даю 98 баллов решить систему:cosx+cosy=1sinxsiny=3/4

Добро пожаловать!