Решите,пожалуйста,уравнения. В3.Найдите меньший положительный корень уравнения.5cos^2 пи*x-5cos пи*x+4sin^2 пи*x=0

5 * cos^2 пи*x-5 * cos пи*x+4 * sin^2 пи*x=0 ;
5 * cos^2 пи*x-5 * cos пи*x+4 * ( 1 - cos ^ 2 ( pi * x ) ) =0 ;
5 * cos^2 пи*x-5 * cos пи*x+4 - 4 * cos ^ 2 ( pi * x ) =0 ;
cos^2 пи*x-5 * cos пи*x+4 =0 ;
Пусть cos ( pi * x ) = a, где a принадлежит [ - 1 ; 1 ], тогда:
a ^ 2 - 5 * a + 4 = 0 ;
Найдем дискриминант квадратного уравнения:
D = b ^ 2 - 4ac = (-5) ^ 2 - 414 = 25 - 16 = 9 ;
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два реальных корня:
a1 = ( 5 - 9 ) / ( 21 ) = ( 5 - 3) / 2 = 2 / 2 = 1 ;
a2 = ( 5 + 9 ) / ( 21 ) = ( 5 + 3 ) / 2 = 8 / 2 = 4 ;
Означает, cos ( pi * x ) = 1 ;
pi * x = 2 * pi * n, где n принадлежит Z ;
x = 2 * pi * n / pi , где n принадлежит Z ;
x = 2 * n , где n принадлежит Z ;
При n = 0, x = 2 * n = 2 * 0 = 0 ;
При n = 1, x = 2 * n = 2 * 1 = 2 ;
При n = 2, x = 2 * n = 2 * 2 = 4 ;
При n = - 1 , x = 2 * n = 2 * ( - 1 ) = - 2 ;
Отсюда видно, что наименьший положительный корень уравнения равен 2, то есть х = 2.
Ответ: х = 2.