На длинноватой полоске бумаги выписаны естественные числа 1, 2, 3, ,

Осмотрим данную последовательность чисел как арифметическую последовательность, у которой 1-ый член равен 1 и разность тоже равна 1, тогда сумма всех чисел от 1 до N будет равна N * (N + 1) / 2.
Как следует, среднее арифметическое всех чисел последовательности будет одинаково: N * (N + 1) / 2 * N = (N + 1) / 2.
С иной стороны, если мы сложим средние арифметические пяти фрагментов и разделим на 5, то тоже получим среднее арифметическое всех чисел: (8 + 20,5 + 38 + 125,5 + 213) / 5 = 405 / 5 = 81.
Таким образом получаем:
(N + 1) / 2 = 81,
N + 1 = 162,
N = 161.
Ответ: 161.