При каком значении переменной выражение корень (х+2) (х-6) имеет смысл?

Выражение ((x + 2)(x - 6)) имеет смысл, если под знаком корня будет положительное число или 0.

(x + 2)(x - 6) 0 - решим неравенство способом интервалов; найдем нули функции, приравняв выражение из левой части неравенства к нулю;

(x + 2)(x - 6) = 0 - произведение одинаково нулю, когда один из множителей равен нулю, потому приравняем каждый множитель (x + 2) и (x - 6) к нулю;

1) x + 2 = 0;

x = - 2.

2) x - 6 = 0;

x = 6.

Построим числовую прямую, отметим точки (- 2) и 6. Эти точки разделяют числовую прямую на три промежутка: 1) (- ; - 2]; 2) [- 2; 6]; 3) [6; + ]. Выражение (x + 2)(x - 6) принимает положительные значения на 1 и 3 интервалах, а на 2 промежутке - отрицательные. Означает наше выражение ((x + 2)(x - 6)) имеет смысл на (- ; - 2] и [6; + ].

Ответ. (- ; - 2] и [6; + ].