Вычислите: lim(n устремляется к беск)(1+ 4/n)^-n

Для того, чтоб отыскать значение выражения lim (n ) (1+ 4/n) ^ (- n), необходимо n , подставить в в выражение (1+ 4/n) ^ (- n) и отыскать его примерное значение. То есть получаем:

lim (n ) (1+ 4/n) ^ (- n) (1+ 4/) ^ (- ) = (1+ 0) ^ (- ) = (1) ^ (- ) = 1/1 ^ = 1/1 = 1;

В итоге получили, lim (n ) (1+ 4/n) ^ (- n) 1.

Ответ: 1.

В задачке нужно вычислить значение А для предела числовой последовательности а_n:

А = lim _n(а_n);

где последовательности а_n имеет вид:

а_n = (1 + 4 / n)^-n;

Преображение числовой последовательности

Для вычисления предела данной последовательности а_n воспользуемся знаменитым пределом другой последовательности:

b_n = (1 + 1 / n)ⁿ;

Предел последовательности b_n при n равен числу e:

lim _n(b_n) = e;

Число е примерно одинаково:

е 2,72

и величается числом Непера по имени шотландского математика.

Для решения данной задачки:

• запишем последовательность а_n в виде дроби;
• воспользуемся подменой переменной для приведения выражения в скобках к виду b_n;
• используем главные свойства предела для творенья и приватного последовательностей;
• найдем предел последовательности а_n, используя число е.

Получаем:

а_n = (1 + 4 / n)^-n = 1 / (1 + 4 / n)ⁿ;

Воспользуемся подменой переменных. Пусть:

m = n / 4;

либо

n = 4 * m;

Тогда:

1 / (1 + 4 / n)ⁿ = 1 / (1 + 1 / m)^4m;

Учитывая, что если n, то и m, можно записать:

А = lim _m(1 / (1 + 1 / m)^4m)

Вычисление предела А

Используя характеристики для предела приватного и творенья последовательностей, находим:

А = lim _m(1 / (1 + 1 / m)^4m) = 1 / lim _m(1 + 1 / m)^4m;

Дальше:

lim _m(1 + 1 / m)^4m = lim _m((1 + 1 / m)^m)⁴ = lim _m(1 + 1 / m)^m * lim _m(1 + 1 / m)^m * lim _m(1 + 1 / m)^m * lim _m(1 + 1 / m)^m = e⁴;

и для А получаем:

А = 1 / lim _m(1 + 1 / m)^4m = 1 / e⁴ = e^-4;

Ответ: предел последовательности (1 + 4 / n)^-n при n равен e^-4