После того как между цифрами десятков и единиц естественного числа вписали

N = x * 10 + y.
Здесь x и y неизвестные разрядные числа, N естественное число.

x 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;
y 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

Составим уравнение в согласовании с условием задачи.

( x * 10 + y ) * 9 = x * 100 + 0 * 10 + y.

Решим это уравнение.
x * 90 + y * 9 = x * 100 + y;
y * 8 = x * 10;
y * 4 = x * 5.

Подберём подходящие x и y.

y = 5; x = 4.

Тогда начальное число N = 45.
Итоговое число одинаково 405.

Проверка:
405 = 45 * 9. Правильно.