Найдите сумму шестидесяти первых членов последовательности (bn), данной формулой: bn=3n-1

Решим данную задачу, используя понятие арифметической прогрессии.

Для этого:

• покажем, что данная последовательность является арифметической прогрессией;
• найдем 1-ый член и разность этой арифметической прогрессии;
• используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии, найдем сумму шестидесяти первых членов данной последовательности.

Решение задачки.

Докажем, что данная последовательность является арифметической прогрессией

Сообразно определению, каждый член арифметической прогрессии является суммой предшествующего члена этой прогрессии и некого неизменного для всей прогрессии числа d, нарекаемого разностью арифметической прогрессии.

Сообразно условию задачки, данная последовательность (bn) задается  формулой: b_n = 3n - 1.

Выразим n+1-й член данной последовательности через n-й:

b_n+1 = 3* (n + 1) - 1 = 3n + 3 - 1 = 3n - 1 + 3 = b_n + 3.

Как следует, каждый член данной последовательности является суммой предшествующего члена этой последовательности и числа 3, а означает, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью d = 3.

Найдем, чему равен 1-ый член данной последовательности:

b₁ = 3 * 1 - 1 = 3 - 1 = 2.

Найдем сумму шестидесяти первых членов данной последовательности

Воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 *  b₁ + d * (n - 1)) * n / 2.

Подставляя в данную формулу значения b1 = 2, q = 3 и n = 60, получаем:

Sn = (2 *  b₁ + d * (60 - 1)) * 60 / 2 = (2 *  b₁ + d * 59) * 30 =  (2 * 2 + 3 * 59) * 30 = (4 + 177) * 30 = 181 *30 = 5430.

Ответ: сумма шестидесяти первых членов данной последовательности одинакова 5430.

Покажем, что данная последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем разность n+1-го члена bn+1 и n-го члена bn:

bn+1 - bn = 3 * (n + 1) - 1 - (3 * n - 1) = 3 * n + 3 - 1 - 3 * n + 1 = 3.

Следовательно, каждый член данной последовательности, начиная со второго равен сумме предшествующего члена и числа 3.

Как следует, данная последовательность является арифметической прогрессией с разностью d = 3 и первым членом b1 = 3 * 1 - 1 = 2.

Для нахождения суммы шестидесяти первых членов данной последовательности воспользуемся формулой суммы первых n членов арифметической прогрессии Sn = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2 при n = 60:

S60 = (2 * a1 + d * (60 - 1)) * 60 / 2 = (2 * a1 + d * 59) * 30 = (2 * 2 + 3 * 59) * 30 = (4 + 177) * 30 = 181 * 30 = 5430.

Ответ: сумма шестидесяти первых членов данной последовательности одинакова 5430.