Какой цифрой заканчивается 30 5-ая ступень числа 947

Выясним, на какую цифру оканчиваются разные ступени числа 7:

7^1 = 7, оканчивается на 7;

7^2 = 7 * 7 = 49 на 9;

7^3 = 7^2 * 7, как и 9 * 7 = 63 на 3;

7^4 = 7^3 * 7, как и 3 * 7 = 21 на 1;

7^5 = 7^4 * 7, как и 1 * 7 = 7 на 7.

Видно, при каждом увеличении номера ступени на 4, заключительная цифра повторяется.

Т.к. 35 = 3 + 4*8, то 35-я ступень числа 7, а значит, и числа 947, будет заканчиваться так же, как и 3-я ступень числа 7 на цифру 3.

Ответ: 35-я ступень числа 947 заканчивается на 3.

В данной задачке нужно отыскать заключительную цифру числа P, полученного в итоге произведения:

P = 947 * 947 *   * 947,

где заместо троеточия употребляется столько умножений, чтоб в итоге число 947 использовалось всего 35 раз.

Определение последней числа творения чисел

Перемножив два многозначных числа A = 10M + N и B = 10K + L, где N и L числа от 0 до 9, M и K целые числа, получим:

AB = 10 * (10MK + ML + NK) + NL

Первое слагаемое, имея множителем число 10, заканчивается на 0. В этом случае, последняя цифра AB будет совпадать с заключительней цифрой NL.

В данной задачке заключительная цифра числа P будет совпадать с заключительной цифрой 35-й ступени числа 7.

Определение заключительных цифр для ступеней числа 7

Выясним, на какую цифру могут оканчиваться разные ступени числа 7:

• 7^1 = 7, заканчивается на 7;
• 7^2 = 7 * 7 = 49, оканчивается на 9;
• 7^3 = 7^2 * 7, оканчивается, как и творение 9 * 7 = 63, на цифру 3;
• 7^4 = 7^3 * 7, заканчивается, как и творение 3 * 7 = 21, на цифру 1;
• 7^5 = 7^4 * 7, заканчивается, как и творенье 1 * 7 = 7, на цифру 7.

Видно, что 5-ая ступень заканчивается так же, как и 1-ая степень. Соответственно, шестая ступень заканчивается так же, как и вторая, седьмая как 3-я, и т.д. При каждом увеличении номера ступени на 4, заключительная цифра будет повторяться.

Из равенства 35 = 3 + 4*8, следует, что 35-я ступень числа 7, а означает и числа P, будет оканчиваться так же, как и 3-я ступень числа 7, на цифру 3.

Ответ: 35-я ступень числа 947 заканчивается на 3