Какими должны быть остатки при делении на 9 каждого слагаемого суммы

Выразим каждое слагаемое через переменные

Пусть 1-ое слагаемое при разделеньи на девять дает частное A и остаток X.

Тогда 1-ое слагаемое равно 9A + X.

Так как X это остаток от деления на девять, для него есть ограничения: 0 X 8.

Пусть 2-ое слагаемое при дробленьи на девять дает частное B и остаток Y.

Тогда второе слагаемое одинаково 9B + Y.

Так как Y это остаток от разделенья на девять, для него существуют ограничения: 0 Y 8.

Осмотрим сумму двух слагаемых

Найдем сумму наших слагаемых.

(9A + X) + (9B + Y) = 9A + X + 9B + Y = 9 * (A + B) + (X + Y)

Всё это выражение делится нацело на девять, так как по условию задачки сумма двух слагаемых обязана быть кратна девяти.

Также явно, что 9 * (A + B) делится на девять, ведь A и B это целые числа.

Как следует, X + Y тоже делится нацело на девять.

Рассмотрим выражение X + Y

Ранее мы указывали, что для чисел X и Y существуют ограничения.

0 X 8

0 Y 8

Сложим эти два двойных неравенства.

0 X + Y 16

Итак, (X + Y) это целое число от нуля до шестнадцати, которое делится на девять. Есть только два числа, которые подходят этим условиям: ноль и девять.

Пусть X + Y = 0. Тогда X = 0 и Y = 0. Это тот случай, когда каждое из слагаемых делится на девять без остатка.

Пусть X + Y = 9. Нам необходимо отыскать все пары целых чисел от нуля до восьми, которые дают в сумме девять:

• один и восемь;
• два и семь;
• три и 6;
• четыре и пять.

Ответ: ноль и ноль; один и восемь; два и семь; три и 6; четыре и 5.

Допустим, что даны два числа А и В.

Число А при разделении на 9 даёт остаток Х и итог к, означает число А можно записать последующим образом:

(А - Х) : 9 = к,

А = 9 * к + Х.

Число В при разделеньи на 9 даёт остаток У и результат м, тогда его можно записать так:

В = 9 * м + У.

Тогда сумма А и В будет иметь вид:

А + В = 9 * к + Х + 9 * м + У,

А + В = 9 * (к + м) + (Х + У).

Явно, чтоб (А + В) делилось на 9, сумма (Х + У) должна делиться на 9.

Так как и Х, и У являются остатками от разделенья на 9, означает каждое из этих чисел меньше 9.

Вероятны 4 варианта таких остатков: 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5.