Упростить выражение 2/tgx+ctgx

Из определения тангенса знаменито, что он является отношением синуса к косинусу, а из определения котангенса что он является отношением косинуса к синусу.

Преобразуем данное по условию выражение:

2/tgx + ctgx = 2 : sinx/cosx + cosx/sinx.

Поделить одно число на иное означает умножить одно число на число, обратное иному:

2 : sinx/cosx + cosx/sinx = 2 * cosx/sinx + cosx/sinx = (2 * cosx)/sinx + cosx/sinx.

Обе дроби имеют однообразный знаменатель, тогда их можно сложить, сложив их числители:

(2 * cosx)/sinx + cosx/sinx = (2 * cosx + cosx)/sinx = (3 * cosx)/sinx.

Так как cosx/sinx = ctgx, то:

(3 * cosx)/sinx = 3 * ctgx.

Ответ: 2/tgx + ctgx = 3 * ctgx.

Упрощением математического выражения именуется приведение данного выражения к более краткому виду, методом выполнения в нем всех возможных алгебраических деяний (сложение, вычитание, умножение, разделение, строительство в степень, извлечение корня и так дальше).

Чтобы упростить данное по условию выражение, выполним несколько деяний:

• выразим производные тригонометрические функции (тангенс и котангенс) через прямые тригонометрические функции;
• подставим приобретенные выражения в начальное выражение;
• упростим полученное новое выражение, сложив две дроби.

Выполним подмену

Из определения тангенса известно, что тангенс угла равен отношению синуса этого же угла к косинусу (также этого угла), тогда:

tg x = (sin x)/(cos x).

В свою очередь, котангенс угла равен отношению косинуса этого угла к его синусу, как следует:

ctg x = (cos x)/(sin x).

Подставим полученные выражения в начальное выражение:

2 : (sin x)/(cos x) + (cos x)/(sin x).

Упростим приобретенное выражение

У нас вышло выражение, являющееся суммой 2-ух дробей. Поначалу найдем частное числа 2 и первой дроби (частное двух чисел одинаково творенью первого числа на число, оборотное второму числу):

2 : (sin x)/(cos x) = 2 * (cos x)/(sin x).

Найдем сумму двух дробей. Так как эти дроби имеют однообразный знаменатель, то их сумма будет равна новейшей дроби, в числителе которой сумма числителей этих 2-ух дробей, а в знаменателе - тот же знаменатель, что и этих дробей:

2 * (cos x)/(sin x) + (cos x)/(sin x) = (2 * cos x)/(sin x) + (cos x)/(sin x) = (2 * cos x + cos x)/(sin x) = (3 * cos x)/(sin x).

Также, из определения котангенса:

(3 * cos x)/(sin x) = 3 * ctg x.

Ответ: 2/(tg x) + ctg x = 3 * ctg x.