(x^2+16)^2+(x^2+x-12)^2=0

Т.к. квадрат числа - всегда положительное число, либо одинаково 0, то для того, чтобы производилось равенство необходимо, чтобы:

x^2 + 16 = 0 и x^2 + x - 12 = 0

x^2 + 16 = 0 данное равенство решений не имеет, т.к. чтобы оно выполнялось x^2 = -16 (квадрат числа не может быть меньше 0)

Ответ: решений нет

Решим уравнение (x ^ 2 - 16) ^ 2 + (x ^ 2 + x - 12) ^ 2 = 0 

Разложим выражение x ^ 2 16 на множители, используя формулу сокращенного умножения a ^ 2 b ^ 2 = (a b) * (a + b).

Разложим выражение x ^ 2 + x 12 на множители. Для этого, приравняем выражение к 0 и получим:

X ^ 2 + x 12 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b ²  4 * a * c = 1 ²  4 1 (- 12) = 1 + 48 = 49;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

x₁ = (- 1 - 49)/(2 1) = (- 1  7)/2 = - 8/2 = - 4;

x₂ = (- 1 + 49)/(2 1) = (- 1 + 7)/2 = 6/2 = 3;

Отсюда получаем:

(x ^ 2 - 16) ^ 2 + (x ^ 2 + x - 12) ^ 2 = 0;

(x ^ 2 4 ^ 2) ^ 2 + (x ^ 2 + x - 12) ^ 2 = 0; 

((x 4) * (x + 4)) ^ 2 + (((x (- 4)) * (x 3)) ^ 2 = 0;

Поначалу раскрываем скобки. Если перед скобками стоит символ минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на обратный знак. Если же перед скобками стоит знак плюс, то при ее раскрытии знаки значений остаются без изменений. То есть получаем:

((x 4) * (x + 4)) ^ 2 + ((x + 4) * (x 3)) ^ 2 = 0;

(x 4) ^ 2 * (x + 4) ^ 2 + (x + 4) ^ 2 * (x 3) ^ 2 = 0;

Для того, чтоб упростить выражения,, используем следующий порядок деяний: 

1. Поначалу сгруппируем сходственные значения;
2. Вынесем за скобки общий множитель;
3. Найдем значение выражения в скобках и упростим выражение.

(x + 4) ^ 2 * ((x - 4) ^ 2 + (x 3) ^ 2) = 0;

(x + 4) ^ 2 * (x ^ 2 8 * x + 16 + x ^ 2 6 * x + 9) = 0;

(x + 4) ^ 2 * (2 * x ^ 2 14 * x + 25) = 0;

Приравняем каждое уравнение к 0 и найдем корешки уравнения

(x + 4) ^ 2 = 0;

2 * x ^ 2 14 * x + 25 = 0;

x + 4 = 0;

2 * x ^ 2 14 * x + 25 = 0;

Знаменитые значения переносим на одну сторону, а неведомые на иную сторону. При переносе значений, их знаки изменяются на обратный символ. То есть получаем:

x = - 4;

2 * x ^ 2 14 * x + 25 = 0 уравнение не имеет корней.

Отсюда получили, что уравнение (x ^ 2 - 16) ^ 2 + (x ^ 2 + x - 12) ^ 2 = 0  имеет один корень х = - 4.